Մաթեմատիկա
Սահմանափակ ֆունկցիա
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≥m անհավասարությունը:
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≤M անհավասարությունը:
օրինակ՝
f(x)= √ 1+ x2 ֆունկցիան սահմանափակ է x∈[0;2] բազմության վրա, քանի որ 1≤f(x)≤√5 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած x∈[0;2] արգումենտի համար:
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի A թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի |f(x)|≤A անհավասարությունը:
Օրինակա) y=x2 ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից ամբողջ թվային առանցքի վրա, օրինակ զրոյով, քանի որ x2≥0 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:
բ) y=−x2 ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից ամբողջ թվային առանցքի վրա, օրինակ զրոյով, քանի որ −x2≤0 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե այն սահմանափակ է և՛ ներքևից և՛ վերևից, այսինքն գոյություն ունեն այնպիսի m և M թվեր, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի m≤f(x)≤M կրկնակի անհավասարությունը:Ապացուցել ֆունկցիայի սահմանափակությունը` նշանակում է գտնել m և M թվերը:
Օրինակ՝
ա) y=x3 ֆունկցիան սահմանափակ է x∈[1;2] բազմության վրա, քանի որ 1≤x3≤8 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած x∈[1;2] արգումենտի համար:
բ) Նույն y=x3 ֆունկցիան [0;+∞) բազմության վրա ներքևից սահմանափակ է զրոյով՝ x3≥0, x∈[0;+∞), սակայն վերևից սահմանափակ չէ, քանի որ այն ընդունում է ցանկացած դրական թվից մեծ արժեքներ:Բերենք սահմանափակ ֆունկցիայի ևս մեկ սահմանում, որը համարժեք է արդեն տրված սահմանմանը:y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի Aթիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի |f(x)|≤A անհավասարությունը:
Մոնոտոնություն
y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է X բազմությունում աճող, եթե ցանկացած x1 և x2 թվերի համար X բազմությունից x1<x2 անհավասարությունից հետևում է, որ f(x1)<f(x2)
y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է X բազմությունում նվազող, եթե ցանկացած x1 և x2 թվերի համար X բազմությունից x1<x2 անհավասարությունից հետևում է, որ [5;7]
Աճող և նվազող ֆունկցիաներն ունեն ընդհանուր անվանում՝ մոնոտոն ֆունկցիաներ
օրինակ
f(x)=x2 ֆունկցիան աճող է [0;+∞) բազմության վրա:
[2;5] և [7;8] հատվածներում ֆունկցիան աճող է,
[8;12] հատվածում ֆունկցիան նվազող է,
Ֆունկցիայի աճման, նվազման, նշանապահպանման միջակայքերը և զրոները. մեծագույն և փոքրագույն արժեքները
X միջակայքի վրա որոշված y = f (x) ֆունկցիան կոչվում է այդ միջակայքում աճող, եթե ցանկացած x 1 , x 2 , ∈ X թվերի համար x 1 < x 2 անհավասարությունից հետևում է f (x 1 ) < f (x 2 ) անհավասարությունը:
X միջակայքի վրա որոշված y = f (x) ֆունկցիան կոչվում է այդ միջակայքում նվազող, եթե ցանկացած x 1 , x 2 , ∈ X թվերի համար x 1 < x 1 անհավասարությունից հետևում է f (x 1 ) > f (x 2 ) անհավասարությունը:
ՕՐԻՆԱԿ 1.
ա) y = x ֆունկցիան (−∞; +∞) միջակայքում աճող է,
բ) y = x 2 ֆունկցիան [0; +∞) միջակայքում աճող է,
գ) y = x 2 ֆունկցիան (−∞; 0] միջակայքում նվազող է։
Աճող և նվազող ֆունկցիաները կոչվում են խիստ մոնոտոն ֆունկցիաներ:
X միջակայքի վրա որոշված y = f (x) ֆունկցիան կոչվում է այդ միջակայքում չնվազող, եթե ցանկացած x 1 , x 2 , ∈ X թվերի համար x 1 < x 2 անհավասարությունից հետևում է f (x1 ) ≤ f (x2) անհավասարությունը:
X միջակայքի վրա որոշված y = f (x) ֆունկցիան կոչվում է այդ միջակայքում չաճող, եթե ցանկացած x 1 , x 2 , ∈ X թվերի համար x 1 < x 2 անհա վասարությունից հետևում է f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) անհավասարությունը:
ՕՐԻՆԱԿ 2.
| ա) y= |  | x2 երբ x ≥ 0 |
| 0 երբ x < 0 |
ֆունկցիան (−∞; +∞) միջակայքում չնվազող է,
բ) y = √(x + |x|) ֆունկցիան (−∞; +∞) միջակայքում չնվազող է,
| գ) y= | | x2 երբ x < 0 |
| 0 երբ x ≥ 0 |
ֆունկցիան (−∞; +∞) միջակայքում չաճող է,
դ) y = √(|x| − x) ֆունկցիան (−∞; +∞) միջակայքում չաճող է:
Աճող, նվազող, չաճող և չնվազող ֆունկցիաները կոչվում են մոնոտոն ֆունկցիաներ:
y = f (x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթին պատկանող x0 թիվն անվանում են այդ ֆունկցիայի զրո, եթե f (x0 ) = 0: Որպեսզի գտնենք y = f (x) ֆունկցիայի բոլոր զրոները, պետք է գտնենք f (x) = 0 հավասարման բոլոր արմատները:
y = f (x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթին պատկանող X միջակայքն անվանում են այդ ֆունկցիայի նշանապահպանման
միջակայք, եթե այդ միջակայքում ֆունկցիան ընդունում է միևնույն նշանի արժեքներ:
Որպեսզի գտնենք y = f (x) ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը, պետք է լուծենք f (x) > 0 և f (x) < 0 անհավասարումները: Եթե գտնված են y = f (x) ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը, ապա ասում են, որ գտնված է այդ ֆունկցիայի նշանների բաշխումը:
ՕՐԻՆԱԿ 3.
ա) y = √x ֆունկցիան որոշված է [0; +∞) միջակայքում, ունի միակ x0 = 0 զրո և դրական է (0; +∞) միջակայքի ցանկացած կետում: (x + դ)(x − ա)
| բ) y= | (x+1)(x-3) |
| (x+2)(x-4) |
ֆունկցիան որոշված է (−∞; −2)∪(−2; 4)∪(4; +∞) միջակայքերի միավորման վրա, ունի երկու x1 = −1 և x2 = 3 զրոներ:
| գ) y= | (x-1)(x-2)2(x-5) |
| (x-3)2 |
ֆունկցիան որոշված է (−∞; 3)∪(3; +∞) միջակայքերի միավորման վրա, ունի երեք x1 = 1, x2 = 2 և x3 = 5 զրոներ:
X բազմության վրա որոշված y = f (x) ֆունկցիան անվանում են X բազմության վրա ներքևից սահմանափակ, եթե գոյություն ունի A թիվ, այնպիսին, որ A ≤ f (x) կամայական x ∈ X-ի համար:
Օրինակ՝ y = x2 ֆունկցիան ներքևից սահմանափակ է իր որոշման R տիրույթում, քանի որ x2 ≥ 0 կամայական x իրական թվի համար:
X բազմության վրա որոշված y = f (x) ֆունկցիան անվանում են այդ բազմության վրա վերևից սահմանափակ, եթե գոյություն ունի B թիվ, այնպիսին, որ f (x) ≤ B կամայական x ∈ X-ի համար: Օրի նակ՝ y = − x2 ֆունկցիան վերևից սահմանափակ է x ∈ R բազմությունում, քանի որ − x2 ≤ 4 կամայական x իրական թվի համար:
X բազմության վրա որոշված y = f (x) ֆունկցիան անվանում են այդ բազմության վրա սահմանափակ, եթե գոյություն ու նի M > 0 թիվ, այնպիսին, որ |f (x)| ≤ M կամայական x ∈ X-ի համար:
Օրինակ՝ y = x ֆունկցիան սահմանափակ է x ∈ [−1; 1] տիրույթում, քանի որ կամայական x ∈ [−1; 1] թվի հա մար |x| ≤ 1:
Ասում են, որ y = f (x) ֆունկցիան X բազմության վրա ընդունում է ամենափոքր արժեքը x0 կետում, եթե x0 ∈ X և f (x0) ≤ f (x) ցանկացած x ∈ X-ի համար:
f (x0) թիվն անվանում են f (x)-ի փոքրագույն արժեք X բազմության վրա։ Ասում են նաև, որ y = f (x) ֆունկցիան X բազմության վրա ընդունում է ամենամեծ արժեքը x0 կետում, եթե x0 ∈ X և f (x0) ≥ f (x) ցանկացած x ∈ X-ի համար: f (x0) թիվն անվանում են f (x)-ի մեծագույն արժեք X բազմության վրա։
Աղբյուրներ՝
